高斯函数证明题

dora_clx

设a是一个满足a^3-2a^2-1=0的实数．证明：对任意正整数n,数［a[a[an]]]-n 是一个奇数。

小蝴蝶爸爸

直觉告诉我，
首先预估一下三次方程几个实数根，范围多少？
然后可能还要把N按照奇偶分类。
借助一下高级的计算器，应该能凑出解法

dora_clx

小蝴蝶爸爸 发表于 2024-07-06 09:27
本帖最后由 小蝴蝶爸爸 于 2024-7-6 09:30 编辑

直觉告诉我，
首先预估一下三次方程几个实数根，范围多少？
然后可能还要把N按照奇偶分类。
借助一下高级的计算器，应该能凑出解法

计算器算高斯函数有bug

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小蝴蝶爸爸

随便找了个在线计算器算了一下
方程有唯一实数根
2.2055694304005904

huhuyang2010

有解答么？

huhuyang2010

我给一个不优美的证法。
a=2+1/(a^2)
[an]=2n+k，其中k=[n/a^2]
[a[an]]=2(2n+k)+q=4n+2k+q, 其中q=[(2n+k)/a^2]
[a[a[an]]]=2(4n+2k+q)+[(4n+2k+q)/a^2]
只要证明 n-1<[(4n+2k+q)/(a^2)]<n即可。
[(4n+2k+q)/(a^2)]<(4n+4n/a^2+n/a^4)/a^2= n*(2a^2+1)^2/a^6=n (要简单说明下这里等号取不到，比如k=n/a^2成立的话，an是整数，a为有理数，矛盾！）
[(4n+2k+q)/(a^2)]>(4n+4n/a^2+n/a^4-1/a^2-3)/a^2>n-1 <=> 4na^4+4na^2+n-a^2-3a^4>(n-1)a^6
<=> 4na^4+4na^2+n-a^2-3a^4>(n-1)(2a^2+1)^2，验证成立！
证毕。

jdmath

我们证明［a[a[an]]]-n =2[a[an]]-1
利用上面的想法 a=2+1/(a^2)
［a[a[an]]]=［2[a[an]]+[a[an]]/(a^2)]=2[a[an]]+[[a[an]]/(a^2)]
由于a是无理数，因此[a[an]]/(a^2)<n,
我们证明[a[an]]/(a^2)>n-1
[a[an]]>[a(an-1)]>a(an-1)-1=a^2(n-1)+a^2-a-1>a^2(n-1)得证